Информация о задаче

Задача 53042

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC, $\angle$ ABC = 120^o. Расстояние от середины стороны AB до основания AC равно a. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник ABC.

Подсказка

Найдите стороны треугольника ABC и расстояние от вершины B до ближайшей точки касания с вписанной окружностью.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, M — середина AB, K — проекция точки M на основание AC. Тогда

AM = 2MK = 2a, AB = 2AM = 4a.

Если P — точка касания вписанной окружности со стороной AB, а Q — со стороной AC, то

AQ = AB cos 30^o = 2a $\displaystyle \sqrt{3}$ , AP = AQ = 2a $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

BP = AB - AP = 4a - 2a $\displaystyle \sqrt{3}$ = 2a(2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ ),

OP = r = BPtg60^o = 2a $\displaystyle \sqrt{3}$ (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Тогда площадь вписанного круга равна

$\displaystyle \pi$ r² = 12 $\displaystyle \pi$ a²(2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ )² = 12 $\displaystyle \pi$ a²(7 - 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Ответ

12 $\pi$ a²(7 - 4 $\sqrt{3}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	711