Информация о задаче

Задача 53044

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\varphi$ . Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.

Подсказка

Выразите радиусы окружностей через основание треугольника.

Решение

Обозначим основание BC равнобедренного треугольника ABC через a, радиусы вписанной и описанной окружностей — r и R соответственно, центр вписанной окружности — O, середину BC — M. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BAC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\sin (180^{\circ} - 2\varphi)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\sin 2\varphi}}$ ,

r = OM = BMtg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ tg $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = tg $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ sin 2 $\displaystyle \varphi$ .

Ответ

tg ${\frac{\varphi}{2}}$ sin 2 $\varphi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	713