Информация о задаче

Задача 53048

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AC = b, $\angle$ ABC = $\alpha$ . Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанного в треугольник ABC круга и вершины A и C.

Подсказка

Докажите, что сторона AC видна из центра вписанного в треугольник ABC круга под углом 90^o + ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Решение

Пусть O — центр вписанного в треугольник ABC круга, R — искомый радиус.

$\displaystyle \angle$ AOC = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BCA = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ BCA) =

= 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \angle$ ABC) = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Тогда

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle AOC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{2 \sin \left(90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Ответ

${\frac{b}{2\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	717