Информация о задаче

Задача 53064

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

К окружности проведены касательные, касающиеся её в концах диаметра AB. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные в точках K и M. Докажите, что произведение AK^.BM постоянно.

Подсказка

Отрезок KM виден из центра окружности под прямым углом.

Решение

Пусть O — центр данной окружности, P — точка касания с прямой KM. Тогда

AK = KP, BM = MP, $\displaystyle \angle$ OKM + $\displaystyle \angle$ OMK =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ AKM + $\displaystyle \angle$ BMK) = $\displaystyle {\frac{180^{\circ}}{2}}$ = 90^o.

Поэтому $\angle$ KOM = 90^o и OP — высота прямоугольного треугольника KOM, опущенная на гипотенузу. Следовательно,

AK^.BM = KP^.PM = OP² = R²,

где R — радиус данной окружности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	733