Информация о задаче

Задача 53065

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и M так, что 3AK = 4AM = AB. Докажите, что прямая KM касается окружности, вписанной в квадрат.

Подсказка

Проведите через точку K касательную к окружности (отличную от KB) и докажите, что она пересекает сторону AD в точке M.

Решение

Пусть сторона квадрата равна 1, O — центр окружности. Проведём через точку K касательную к окружности, пересекающую сторону AD в точке M₁, отличной от A, и касающуюся окружности в точке Q. Пусть P — середина AB и $\angle$ AKM₁ = 2 $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ QOP = $\displaystyle \angle$ AKM₁ = 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ KOP = $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку

OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , KP = AP - AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ ,

то

tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{KP}{OP}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ , tg2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2{\rm tg }\alpha}{1 - {\rm tg }^{2}\alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Тогда

AM₁ = AKtg2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ,

т.е. точка M₁ совпадает с точкой M.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	734