Информация о задаче

Задача 53068

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В круге проведены две взаимно перпендикулярные и пересекающиеся хорды AB и CD. Известно, что AB = BC = CD. Установите, что больше: площадь круга или площадь квадрата со стороной AB.

Подсказка

Найдите углы треугольника ABC.

Решение

Пусть M — точка пересечения хорд AB и CD, O — центр окружности, R — её радиус, P и Q — проекции точки O на AB и CD соответственно.

Тогда MP = QO = PO = MQ. Следовательно, MB = CM. Поэтому $\angle$ CBA = ${\frac{\pi}{4}}$ , а т.к. AB = BC, то треугольник ABC — равнобедренный. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\frac{\pi - \frac{\pi}{4}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3\pi}{8}}$ .

Тогда

AB = 2R sin $\displaystyle \angle$ ACB = 2R sin $\displaystyle {\frac{3\pi}{8}}$ ,

и площадь квадрата со стороной AB равна

AB² = 4R²sin² $\displaystyle {\frac{3\pi}{8}}$ = 2R² $\displaystyle \left(\vphantom{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}\right.$ 1 - cos $\displaystyle {\frac{3\pi}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}\right)$ =

= 2R² $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ = R²(2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Площадь круга равна $\pi$ R².

Поскольку 2 + $\sqrt{2}$ > 3, 4 > $\pi$ , то площадь квадрата больше.

Ответ

Площадь квадрата.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	737