Информация о задаче

Задача 53071

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Прямая BO пересекает эту окружность в точках M и N, а отрезки AO и CO пересекают окружность соответственно в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников MNP и MQN, если $\angle$ A = $\alpha$ , $\angle$ C = $\gamma$ .

Подсказка

Выразите через радиус окружности расстояние от точек Q и P до прямой BO.

Решение

Пусть R — радиус окружности, BD — биссектриса треугольника ABC, K и F — проекции точек P и Q на прямую BO. Тогда

$\displaystyle \angle$ POK = $\displaystyle \angle$ BAO + $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi - \alpha - \gamma}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Поэтому

PK = PO sin $\displaystyle \angle$ POK = PO sin $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}}\right)$ = R cos $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Аналогично QF = R cos ${\frac{\alpha}{2}}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNP}}{S_{\Delta MNQ}}}$ = $\displaystyle {\frac{PK}{QF}}$ = $\displaystyle {\frac{\cos \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Ответ

${\frac{\cos \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	740