Информация о задаче

Задача 53080

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписана трапеция ABCD. Диаметр, проведённый через вершину A, перпендикулярен боковой стороне CD. Через вершину C проведён перпендикуляр к основанию AD, пересекающий отрезок AD в точке M, а окружность в точке N, причём CM : MN = 5 : 2. Найдите угол при основании трапеции.

Подсказка

Рассмотрите равнобедренный треугольник CAD.

Решение

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Поэтому треугольник CAD — равнобедренный. Следовательно, AK — биссектриса угла CAD.

Обозначим $\angle$ CAK = $\angle$ KAD = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ NAD = $\displaystyle \angle$ NDC = $\displaystyle \angle$ MCK = $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку

$\displaystyle {\frac{CM}{AM}}$ = tg $\displaystyle \angle$ CAM = tg2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle {\frac{MN}{AM}}$ = tg $\displaystyle \angle$ MAN = tg $\displaystyle \alpha$ ,

то

$\displaystyle {\frac{CM}{MN}}$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg }2\alpha}{{\rm tg }\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{1 - {\rm tg }^{2}\alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ .

Поэтому 5 - 5tg² $\alpha$ = 4. Отсюда находим, что tg² $\alpha$ = ${\frac{1}{5}}$ . Следовательно, tg $\angle$ CDA = ctg $\alpha$ = $\sqrt{5}$ .

Ответ

arctg $\sqrt{5}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	749