Информация о задаче

Задача 53081

Темы:	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписана трапеция ABCD (AD — большее основание). Из вершины C проведён перпендикуляр к AD, пересекающий окружность в точке E. Отношение длины дуги BC (не содержащей точки D) к длине дуги CDE равно 1 : 2. Радиус окружности равен высоте трапеции. Найдите отношение AD : BC.

Подсказка

Сумма градусных мер двух указанных дуг равна 180^o.

Решение

Поскольку $\angle$ BCE = 90^o, то BE — диаметр окружности. Поэтому сумма градусных мер указанных дуг равна 180^o,

$\displaystyle \cup$ BC = 60^o, $\displaystyle \cup$ CDE = 120^o, $\displaystyle \angle$ BEC = 30^o, $\displaystyle \angle$ CBE = 60^o.

Пусть R — радиус окружности, O — её центр, BK = CF = R — высоты трапеции. Тогда

BC = BE sin 30^o = R, CE = 2R sin 60^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Если M и N — середины хорд AD и CE, то

OM = NF = CF - CN = R - $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{R( 2 - \sqrt{3})}{2}}$ .

Тогда

AD = 2AM = 2 $\displaystyle \sqrt{OA^{2} - OM^{2}}$ =

= 2 $\displaystyle \sqrt{R^{2} - R^{2}\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{4}}$ = R $\displaystyle \sqrt{4\sqrt{3} -3}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AD}{BC}}$ = $\displaystyle \sqrt{4\sqrt{3} -3}$ .

Ответ

$\sqrt{4\sqrt{3} - 3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	750