Задача 53082

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковая сторона AB касается окружности в точке M, а основание AD – в точке N. Отрезки MN и AC пересекаются в точке P, причём  NP : PM = 2.  Найдите отношение  AD : BC.

Подсказка

Проведите через точку M прямую, параллельную основаниям трапеции, и рассмотрите получившиеся подобные треугольники.

Решение

  Пусть K – точка касания окружности с основанием BC. Проведём через точку M прямую, параллельную AD, до пересечения с диагональю AC в точке Q. Обозначим  AD = 4a,  BC = 4b.  Тогда  AM = AN = 2a,  BM = BK = 2b.
  Из подобия треугольников MQP и NAP находим, что  MQ = ½ AN = a,  а из подобия треугольников AMQ и ABC –   ^AM/_AB = ^MQ/_BC,  или  ^a/_a+b = ^a/_4b.
  Следовательно,  a = 3b.

Ответ

3 : 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	751