Задача 53089

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность K, центр которой лежит на описанной окружности треугольника ABC. Окружность K пересекает продолжение стороны BA за точку A в точке M. Найдите угол C, если  MA : AB = 2 : 5,  а  ∠B = arcsin ³/₅.

Подсказка

Пусть AN – высота треугольника ABC. Докажите, что треугольник ANC – равнобедренный.

Решение

  Пусть Q – центр окружности K,  AB = 5x,  AM = 2x,  AN – высота треугольника ABC. Тогда  AN = AB sin∠B = 3x,  BN = 4x,
∠AMC = ½ ∠AQC = ½ (180° – ∠B) = 90° – ½ ∠B.
  Поскольку  QA = QC,  то BQ – биссектриса угла B. Поэтому  ∠QBM = ½ ∠B.  Следовательно,  MC ⊥ BQ.  Поэтому треугольник MBC – равнобедренный,
BM = BC = 7x.  Значит,  NC = BC – BN = 7x – 4x = 3x = NA.
  Следовательно,  ∠C = ∠NCA = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	758