Информация о задаче

Задача 53094

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC (AD > BC). Прямая, параллельная диагонали AC, пересекает стороны AD и CD в точках M и N соответственно и касается окружности в точке P. Найдите углы трапеции, если ${\frac{MP}{PN}}$ = k (k < 1).

Подсказка

Пусть NL — высота треугольника MND. Выразите MN по теореме косинусов из этого треугольника, учитывая, что ML = ND.

Решение

Пусть MP = k, PN = 1; Q и T — точки касания окружности с основанием AD и боковой стороной CD соответственно; F — проекция вершины C на основание AD; L — проекция точки N на AD; $\angle$ CDA = $\angle$ BAD = $\alpha$ . Тогда

AF = $\displaystyle {\frac{BC + AD}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{CD + AB}{2}}$ = CD.

Поскольку треугольники NMD и CAD подобны, то ML = ND. Обозначим ND = c. Тогда

DT = DN + NP = c + 1, DQ = DL + LM + MQ = c^.cos $\displaystyle \alpha$ + c + k,

а т.к. DT = DQ, то получим уравнение

c^.cos $\displaystyle \alpha$ + c + k = c + 1.

Откуда находим, что c = ${\frac{1 - k}{\cos \alpha}}$ .

По теореме косинусов в треугольнике NMD:

MN² = DN² + DM² - 2DN^.MD cos $\displaystyle \alpha$ , или

(1 + k)² = c² + c²(1 + cos $\displaystyle \alpha$ )² - 2c²(1 + cos $\displaystyle \alpha$ )cos $\displaystyle \alpha$ = c²(2 - cos² $\displaystyle \alpha$ ).

Подставив c = ${\frac{1 - k}{\cos \alpha}}$ , получим, что

cos² $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{(1 - k)^{2}}{1 + k^{2}}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{1 - k}{\sqrt{k^{2} + 1}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	763