Информация о задаче

Задача 53097

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На продолжении за точку A стороны AC правильного треугольника ABC взята точка M, и около треугольников ABM и MBC описаны окружности. Точка A делит дугу MAB в отношении MA : AB = n. В каком отношении точка C делит дугу MCB?

Подсказка

Выразите указанные дуги через n.

Решение

Угол MAB в первой окружности опирается на дугу MB. Поскольку $\angle$ MAB = 120^o, то

$\displaystyle \cup$ MB = 240^o, $\displaystyle \cup$ MAB = 120^o.

Следовательно,

$\displaystyle \cup$ MA = 120^{o .} $\displaystyle {\frac{n}{n + 1}}$ , $\displaystyle \cup$ AB = $\displaystyle {\frac{120^{\circ}}{n+1}}$ .

Во второй окружности угол BCM опирается на дугу MB. Поскольку $\angle$ BCM = 60^o, то $\cup$ BM = 120^o. На дугу BC второй окружности опирается угол BMC. Поскольку $\angle$ BMC = ${\frac{60^{\circ}}{n+1}}$ , то

$\displaystyle \cup$ BC = $\displaystyle {\frac{120^{\circ}}{n+1}}$ .

Тогда

$\displaystyle \cup$ MC = 360^o - $\displaystyle \cup$ MB - $\displaystyle \cup$ BC = 120^{o .} $\displaystyle {\frac{2n+1}{n+1}}$ .

Следовательно, $\cup$ MC : $\cup$ CB = 2n + 1.

Ответ

$\cup$ MC : $\cup$ CB = 2n + 1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	766