Информация о задаче

Задача 53100

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Первая окружность проходит через центр второй и её хорда BD пересекает вторую окружность в точке C и делит дугу ACB в отношении AC : CB = n. В каком отношении точка D делит дугу ADB?

Подсказка

Выразите указанные дуги через n.

Решение

Обозначим через O₁ и O₂ центры окружностей. Пусть угловые величины дуг AC и BC второй окружности равны nx и x. Тогда $\angle$ ABD = ${\frac{nx}{2}}$ и угловая величина дуги AD первой окружности равна nx.

Из равнобедренного треугольника AO₂B находим, что

$\displaystyle \angle$ O₂AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - (n + 1)x).

Тогда угловая величина дуги AB первой окружности в четыре раза больше, т.е.

$\displaystyle \cup$ AB = 2(180^o - (n + 1)x),

а угловая величина дополнительной к ней дуги первой окружности равна 2(n + 1)x. Следовательно, искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{nx}{(2(n + 1)x - nx)}}$ = $\displaystyle {\frac{n}{n+2}}$ .

Ответ

$\cup$ AD : $\cup$ DB = n : (n + 2).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	769