Задача 53108

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность. Расстояния от концов гипотенузы AB до прямой, касающейся окружности в точке C , равны m и n соответственно. Найдите катеты AC и BC .

Решение

Пусть P и Q — проекции точек A и B на указанную касательную, CM — высота треугольника ABC . Треугольник AMC равен треугольнику APC , т.к.

PCA = ABC = 90^o - CAB = ACM
(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, AM = AP = m . Аналогично BM = n . Поэтому
AC2 = AM· AB=m(m+n), BC2 = BM· AB=n(m+n),

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	777