Задача 53111

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две равные окружности пересекаются в точке C. Через точку C проведены две прямые, пересекающие данные окружности в точках A, B и M, N соответственно. Прямая AB параллельна линии центров, а прямая MN образует угол α с линией центров. Известно, что  AB = a.  Найдите NM.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из центров окружностей на прямые AB и MN.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей, точки A и M принадлежат первой окружности, B и N – второй.
  Опустим перпендикуляры O₁X и O₂Y на прямую AB. Тогда X и Y – середины хорд AC и BC. Поэтому  O₁O₂ = XY = ^AC/₂ + ^BC/₂ = ^AB/₂ = ^a/₂.
  Опустим перпендикуляры O₁P и O₂Q на прямую MN. Тогда P и Q – середины хорд MC и NC. Поэтому  PQ = ^MN/₂.
  Пусть F – проекция точки O₁ на O₂Q. Тогда  O₁F || MN.  Следовательно,  ∠FO₁O₂ = α  и  O₁F = PQ.  Поскольку  O₁F = O₁O₂ cos α = ^a/₂ cos α,  то  MN = 2PQ = a cos α.

Ответ

a cos α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	780