ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53113
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности, радиусы которых равны R и r, расположены одна вне другой. Отрезки общих внутренних касательных AC и BD (A, B, C, D – точки касания) равны a. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.


Подсказка

Найдите синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов r и R соответственно, точки A и B принадлежат первой окружности, C и D – второй, P – точка пересечения AC и BD.
  Из подобия треугольников DPO2 и BPO1 следует, что  DP : PB = R : r.  Поэтому  PD = Ra/R+r.  Следовательно,  tg∠DPO2 = DO2/PD = R+r/a,  а  
Поэтому  SABCD = ½ AC·BD sin∠DPC = a³(R+r)/a² + (R+r.


Ответ

a³(R+r)/a² + (R+r

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 782

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .