|
|
 |
Условие
Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Подсказка
Опишите окружность около данного треугольника и продолжите биссектрису до пересечения с этой окружностью.
Решение
Пусть в треугольнике ABC точки H, D и M – основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины B.
Опишем около треугольника ABC окружность. Пусть P – точка пересечения прямой BD с этой окружностью. Тогда P – середина дуги AC. Поэтому прямая, проведённая через точку P параллельно BH, перпендикулярна хорде AC (так как BH ⊥ AC) и, значит, проходит через её середину M.
Поскольку точки B и P лежат по разные стороны от прямой AC, то точка D лежит между проекциями концов отрезка BP, то есть между точками H и M.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 784 |
