Информация о задаче

Задача 53121

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.

Подсказка

С помощью формулы S = ${\frac{1}{2}}$ ab sin $\gamma$ докажите, что отрезки, соединяющие противоположенные точки касания, делят диагональ данного четырёхугольника в одном и том же отношении.

Решение

Пусть E, F, G и K — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD описанного четырёхугольника ABCD, M — точка пересечения AC и EG. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AEM}}{S_{\Delta CGM}}}$ = $\displaystyle {\frac{AM\cdot EM \sin \angle AME}{CM\cdot GM \sin \angle CMG}}$ = $\displaystyle {\frac{AE\cdot EM\sin \angle AEM}{CG\cdot GM\sin \angle CGM}}$ .

Поскольку sin $\angle$ AME = sin $\angle$ CMG и sin $\angle$ AEM = sin $\angle$ CGM, то из полученного равенства отношений следует, что ${\frac{AM}{CM}}$ = ${\frac{AE}{CG}}$ , т.е. прямая EG делит диагональ AC данного четырёхугольника в отношении ${\frac{AE}{CG}}$ .

Точно так же убеждаемся, что прямая FK делит ту же диагональ в отношении ${\frac{AK}{CF}}$ , а т.к. AE = AK и CG = CF, то ${\frac{AK}{CF}}$ = ${\frac{AE}{CG}}$ . Следовательно, прямая FK проходит через точку M.

Аналогично докажем, что BD проходит через точку пересечения EG и FK.

Это утверждение можно доказать с помощью теоремы Брианшона (см. Г.С.М.Коксетер, С.Л.Грейтцер: Новые встречи с геометрией, с.98).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	790