Задача 53138

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Терешин Д.А.

На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что   KL || MN  и
KM ⊥ NL.  Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.

Подсказка

Четырёхугольники NDMO и KBLO – вписанные (O – точка пересечения отрезков KM и LN).

Решение

Обозначим точку пересечения отрезков KM и LN через O. Около четырёхугольников NDMO и KBLO можно описать окружности. Поэтому
∠NOD = ∠NMD = ∠LKB = ∠LOB.  Следовательно, точки D, O и B лежат на одной прямой.

Замечания

Утверждение задачи справедливо для любого параллелограмма ABCD и без условия  KM ⊥ NL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	832