Задача 53139

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Чиник В.И.

Точка D – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABD и MNC равны.

Подсказка

Докажите, что  ∠NAC = ∠ACB.

Решение

  Обозначим  ∠ACB = γ.  Тогда  ∠ANB = ∠ADB = 2γ  как вписанные углы окружности, проходящей через точки A, B и D. Поэтому
∠NAC = ∠ANB – ∠ACN = 2γ – γ = γ.
  Пусть R₁ и R₂ – радиусы описанных окружностей треугольников ABD и MNC соответственно. Тогда  2R₁ sin γ = MN = 2R₂ sin γ.  Следовательно,  R₁ = R₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	833