Информация о задаче

Задача 53143

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причём центр O окружности S₂ лежит на окружности S₁. Хорда OC окружности S₁ пересекает окружность S₂ в точке D. Докажите, что D — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Подсказка

Используя свойства вписанных углов, докажите, что $\angle$ BAD = ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ BAC.

Решение

Докажем, что AD — биссектриса угла BAC. Действительно, $\angle$ BOC = $\angle$ BAC (углы, вписанные в окружность S₁, опирающиеся на одну и ту же дугу), а

$\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BOD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC.

Аналогично докажем, что BD — биссектриса угла ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	837