Информация о задаче

Задача 53156

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Трапеция ABCD с основаниями BC и AD вписана в окружность. На дуге CD взята точка E и соединена со всеми вершинами трапеции. Известно, что $\angle$ CED = 120^o, $\angle$ ABE - $\angle$ BAE = $\alpha$ . Найдите отношение периметра треугольника ABE к радиусу вписанной в него окружности.

Подсказка

$\angle$ AEB = 60^o.

Решение

Поскольку BC || AD, то

$\displaystyle \cup$ AB = $\displaystyle \cup$ CD = 360^o - $\displaystyle \cup$ CAD = 360^o - 2 $\displaystyle \angle$ CED =

= 360^o - 240^o = 120^o.

Поэтому $\angle$ AEB = 60^o.

Обозначим $\angle$ ABE = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + 60^o = 180^o.

Отсюда находим, что

$\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \beta$ = 60^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ = 60^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABE, r — её радиус, M и N — точки касания этой окружности со сторонами AB и AE соответственно, P — периметр треугольника ABE. Тогда

P = 2(BM + AM + EN) =

= 2 $\displaystyle \left(\vphantom{r{\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + r{\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + r\sqrt{3}}\right.$ rctg $\displaystyle \left(\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right)$ + rctg $\displaystyle \left(\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right)$ + r $\displaystyle \sqrt{3}$ $\displaystyle \left.\vphantom{r{\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + r{\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + r\sqrt{3}}\right)$ =

= 2r $\displaystyle \left(\vphantom{{\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + {\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + \sqrt{3}}\right.$ ctg $\displaystyle \left(\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right)$ + ctg $\displaystyle \left(\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right)$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + {\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + \sqrt{3}}\right)$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{P}{r}}$ = 2 $\displaystyle \left(\vphantom{{\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + {\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + \sqrt{3}}\right.$ ctg $\displaystyle \left(\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right)$ + ctg $\displaystyle \left(\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right)$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ $\displaystyle \left.\vphantom{{\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + {\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + \sqrt{3}}\right)$ .

Ответ

2 $\left(\vphantom{{\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + {\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + \sqrt{3}}\right.$ ctg $\left(\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o - ${\frac{\alpha}{4}}$ $\left.\vphantom{30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}}\right)$ + ctg $\left(\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right.$ 30^o + ${\frac{\alpha}{4}}$ $\left.\vphantom{30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}}\right)$ + $\sqrt{3}$ $\left.\vphantom{{\rm ctg }\left(30^{\circ} - \frac{\alpha}{4}\right) + {\rm ctg }\left(30^{\circ} + \frac{\alpha}{4}\right) + \sqrt{3}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	850