Информация о задаче

Задача 53157

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что BD || AE и $\angle$ CAE = 2 $\angle$ CEA, $\angle$ CBD - $\angle$ CDB = $\alpha$ . Найдите отношение периметра треугольника ACE к радиусу описанной около него окружности.

Подсказка

$\angle$ CEA = $\alpha$ .

Решение

Обозначим

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ CDB = $\displaystyle \gamma$ , $\displaystyle \angle$ ECD = $\displaystyle \varphi$ .

Тогда $\angle$ CAE = 2 $\beta$ .

Пусть P и Q — точки пересечения отрезка BD с отрезками CE и AC соответственно. Поскольку AE || BD, то

$\displaystyle \cup$ AB = $\displaystyle \cup$ ED, $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ ECD = $\displaystyle \varphi$ ,

$\displaystyle \angle$ QPC = $\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ PQC = $\displaystyle \angle$ CAE = 2 $\displaystyle \beta$ .

По теореме о внешнем угле треугольника

$\displaystyle \angle$ QPC = $\displaystyle \angle$ PDC + $\displaystyle \angle$ PCD, или $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \varphi$ ,

$\displaystyle \angle$ PQC = $\displaystyle \angle$ QBC + $\displaystyle \angle$ QCB, или 2 $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \varphi$ .

Отсюда следует, что $\beta$ = $\alpha$ .

Если R — радиус данной окружности, то

AC + CE + AE =

= 2R sin $\displaystyle \angle$ CEA + 2R sin $\displaystyle \angle$ CAE + 2R sin $\displaystyle \angle$ ACE =

= 2R sin $\displaystyle \beta$ + 2R sin 2 $\displaystyle \beta$ + 2R sin(180^o - 3 $\displaystyle \beta$ ) =

= 2R sin $\displaystyle \alpha$ + 2R sin 2 $\displaystyle \alpha$ + 2R sin 3 $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AC + CE + AE}{R}}$ = 2(sin $\displaystyle \alpha$ + sin 2 $\displaystyle \alpha$ + sin 3 $\displaystyle \alpha$ ).

Ответ

2(sin $\alpha$ + sin 2 $\alpha$ + sin 3 $\alpha$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	851