Информация о задаче

Задача 53159

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём хорда DE, параллельная AB, пересекает BC. Известно, что $\angle$ ACE = 60^o и 2 $\angle$ BDC + 3 $\angle$ CBD = $\alpha$ . Найдите отношение радиуса вписанной в треугольник BCD окружности к радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

Подсказка

Выразите через $\alpha$ углы BDC и CBD.

Решение

Обозначим $\angle$ BDC = $\beta$ , $\angle$ CBD = $\gamma$ .

Поскольку AB || DE, то $\cup$ AD = $\cup$ BE и $\angle$ ACD = $\angle$ BCE. Поэтому

$\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle \angle$ ACE = 60^o.

Из треугольника BCD находим, что $\beta$ + $\gamma$ = 120^o, а по условию 2 $\beta$ + 3 $\gamma$ = $\alpha$ . Из полученной системы находим, что

$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \alpha$ - 240^o, $\displaystyle \beta$ = 360^o - $\displaystyle \alpha$ .

Пусть R и r — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника BDC, S — его площадь, P — периметр. Выразим S двумя способами:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.CD sin $\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \beta$ 2R^.sin $\displaystyle \gamma$ sin 60^o =

= $\displaystyle \sqrt{3}$ R²sin(360^o - $\displaystyle \alpha$ )sin( $\displaystyle \alpha$ - 240^o) = $\displaystyle \sqrt{3}$ R²sin $\displaystyle \alpha$ sin( $\displaystyle \alpha$ + 120^o),

S = $\displaystyle {\frac{Pr}{2}}$ = (R sin $\displaystyle \beta$ + R sin $\displaystyle \gamma$ + R sin 60^o)r =

= Rr(- sin $\displaystyle \alpha$ + sin( $\displaystyle \alpha$ + 120^o) + sin 60^o).

Приравняв правые части полученных равенств, находим, что

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}\sin \alpha \sin (\alpha + 120^{\circ }}{\sin \alpha - \sin (\alpha + 120^{\circ}) - \sin 60^{\circ}}}$ = cos( $\displaystyle \alpha$ + 60^o) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{3}\sin \alpha \sin (\alpha + 120^{\circ})}{\sin \alpha - \sin (\alpha + 120^{\circ}) - \sin 60^{\circ}}}$ = cos( $\alpha$ + 60^o) - ${\frac{1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	853