ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53160
Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = arctg 8/15.  Окружность радиуса 1, вписанная в угол C, касается стороны CB в точке M и отсекает от основания отрезок KE. Известно, что  MB = 15/8.  Найдите площадь треугольника KMB, если известно, что точки A, K, E, B следуют на основании AB в указанном порядке.


Подсказка

Докажите, что центр окружности принадлежит основанию треугольника.


Решение

  Пусть O – центр данной окружности. Из прямоугольного треугольника OMB находим, что  tg∠MBO = OM/MB = 8/15 = tgB.  Поэтому  ∠MBO = ∠B.  Поскольку лучи BO и BA расположены по одну сторону от прямой BC, то центр O лежит на стороне AB.
  По теореме Пифагора  OB² = OM² + MB² = (17/8)².
  Пусть h – высота треугольника OMB (см. рис.). Тогда  OB·h = OM·MB,  откуда  h = 15/17SKMB = ½ (KO + OB)h = 375/272.


Ответ

375/272.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 854

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .