Задача 53160

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = arctg ⁸/₁₅.  Окружность радиуса 1, вписанная в угол C, касается стороны CB в точке M и отсекает от основания отрезок KE. Известно, что  MB = ¹⁵/₈.  Найдите площадь треугольника KMB, если известно, что точки A, K, E, B следуют на основании AB в указанном порядке.

Подсказка

Докажите, что центр окружности принадлежит основанию треугольника.

Решение

  Пусть O – центр данной окружности. Из прямоугольного треугольника OMB находим, что  tg∠MBO = ^OM/_MB = ⁸/₁₅ = tg∠B.  Поэтому  ∠MBO = ∠B.  Поскольку лучи BO и BA расположены по одну сторону от прямой BC, то центр O лежит на стороне AB.
  По теореме Пифагора  OB² = OM² + MB² = (¹⁷/₈)².
  Пусть h – высота треугольника OMB (см. рис.). Тогда  OB·h = OM·MB,  откуда  h = ¹⁵/₁₇,  S_KMB = ½ (KO + OB)h = ³⁷⁵/₂₇₂.

Ответ

³⁷⁵/₂₇₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	854