Информация о задаче

Задача 53164

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно $\sqrt{2/3}$ . Найдите углы трапеции.

Подсказка

Выразите диагональ трапеции двумя способами: через радиус описанной окружности и острый угол трапеции; через высоту и острый угол трапеции.

Решение

Пусть $\alpha$ - острый угол трапеции ABCD, h - высота трапеции, R - радиус описанной окружности, M - проекция вершины C меньшего основания BC на большее основание AD. Тогда

AC = 2R^.sin $\displaystyle \alpha$ , AM = CD = CM/sin $\displaystyle \alpha$ иAM² + MC² = AC²,или

h²/sin² $\displaystyle \alpha$ + h² = 4R^{2 .}sin² $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку h/R = $\sqrt{2/3}$ , то

2(1/sin² $\displaystyle \alpha$ + 1)/3 = 4^.sin² $\displaystyle \alpha$ ,или6^.sin⁴ $\displaystyle \alpha$ - sin² $\displaystyle \alpha$ - 1 = 0.

Отсюда находим, что sin² $\alpha$ = 1/2.

Ответ

45^o, 135^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	858