Информация о задаче

Задача 53165

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы треугольника.

Подсказка

Выразите двумя способами основание треугольника: через радиус описанной окружности и угол при основании; через радиус вписанной окружности и угол при основании.

Решение

Пусть $\alpha$ — угол при основании AC равнобедренного треугольника ABC, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей (R = 3r), O — центр вписанной окружности, M — середина AC. Тогда

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ B = 2R sin(180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) = 2R sin 2 $\displaystyle \alpha$ .

В прямоугольном треугольнике OMC

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC = MC = OM cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = r cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поэтому AC = 2r cos ${\frac{\alpha}{2}}$ . Приравняв найденные выражения для AC, получим, что

R sin $\displaystyle \alpha$ = r cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поскольку R = 3r, то 3 sin 2 $\alpha$ tg ${\frac{\alpha}{2}}$ = 1. Преобразуем левую часть этого уравнения:

6 sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 1, 12 sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ cos $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 1, 12 sin² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ cos $\displaystyle \alpha$ = 1,

6(1 - cos $\displaystyle \alpha$ )cos $\displaystyle \alpha$ = 1, 6 cos² $\displaystyle \alpha$ - 6 cos $\displaystyle \alpha$ + 1 = 0.

Следовательно, cos $\alpha$ = ${\frac{1}{2}}$ ± ${\frac{1}{2\sqrt{3}}}$ .

Ответ

arccos $\left(\vphantom{\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}}\right.$ ${\frac{1}{2}}$ ± ${\frac{1}{2\sqrt{3}}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}}\right)$ ; 180^o - 2 arccos $\left(\vphantom{\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}}\right.$ ${\frac{1}{2}}$ ± ${\frac{1}{2\sqrt{3}}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	859