Задача 53172

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, стороны AB в точке E и стороны BC в точке F. Известно, что  AD = R,
DC = a.  Найдите площадь треугольника BEF.

Подсказка

Треугольник ABC – прямоугольный.

Решение

  Пусть O – центр окружности. Поскольку  AE = AD = OD = OE = R  и  OD ⊥ AD,  то AEOD – квадрат. Поэтому  ∠A = 90°.
  Обозначим  BE = BF = x.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  2R(a + R + x) = 2S_ABC = (a + R)(x + R),  откуда  
  Пусть K – середина EF. Треугольники BKF и BFO подобны с коэффициентом    поэтому