Задача 53175

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности.
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что  OC = 5.

Подсказка

Пусть P и Q — точки касания окружности с катетами BC и AB. Рассмотрите подобные треугольники AQO и OPC.

Решение

  Пусть P и Q – точки касания окружности с катетами BC и AB. Из прямоугольного треугольника OPC находим, что  PC² = OC² – OP² = 16.
  Из подобия прямоугольных треугольников AQO и OPC находим, что  AQ = ^OP/_PC·OQ = ⁹/₄.
  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·BC = ½ (AQ + QB)(BP + PC) = ½ (⁹/₄ + 3)(3 + 4) = ¹⁴⁷/₈.

Ответ

¹⁴⁷/₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	869