Задача 53177

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса прямого угла B пересекает гипотенузу AC в точке M.
Найдите площадь треугольника ABC, если расстояние от точки M до катета BC равно 4, а  AM = 5.

Подсказка

Пусть P и Q – проекции точки M на катеты AB и BC. Рассмотрите подобные треугольники MQC и APM.

Решение

  Пусть P и Q – проекции точки M на катеты AB и BC. По свойству биссектрисы  PM = MQ = 4.
  Из прямоугольного треугольника APM находим, что   AP² = AM² – PM² = 9.
  Из подобия треугольников MQC и APM находим, что  QC = ^PM/_AP·MQ = ¹⁶/₃.
  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·BC = ½·(3 + 4)(4 + ¹⁶/₃) = ⁹⁸/₃.

Ответ

⁹⁸/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	871