Задача 53179

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает сторону DC в единственной точке F и сторону BC в единственной точке E.
Найдите площадь трапеции AFCB, если  AB = 32,  AD = 40  и  BE = 1.

Решение

  Пусть O – центр данной окружности, R – её радиус, P и K – точки касания окружности со сторонами AB и AD, K – проекция точки E на OM, L – проекция точки F на ON. Тогда  KE = MB = 32 – R.
  По теореме Пифагора  (R – 1)² + (32 – R)² = R²,  откуда  R = 25  (второй корень  R = 41  не удовлетворяет условию  R < 32).
  LO² = OF² – LF² = R² – (40 – R)² = 25² – 15² = 20²,  FC = LO + MB = 27.
  Следовательно,  S_AFCB = ½ (AB + FC)BC = ½ (32 + 27)·40 = 1180.

Ответ

1180.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3313