|
|
 |
Условие
Центр окружности радиуса 6, касающейся сторон AB, BC и CD равнобедренной трапеции ABCD, лежит на её большем основании AD. Основание BC равно 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается боковых сторон AB и CD этой трапеции.
Подсказка
Пусть O – центр окружности, Q, M и P – точки её касания со сторонами соответственно AB, BC и CD, L – проекция вершины C на основание AD, K – точка пересечения отрезков PQ и MO. Найдите CD из равнобедренного треугольника OCD и рассмотрите подобные треугольники OKP и DLC.
Решение
Пусть O – центр окружности, Q, M и P – точки её касания со сторонами AB, BC и CD, L –
проекция вершины C на основание AD, K – точка пересечения отрезков PQ и MO.
Поскольку CO – биссектриса угла BCD, то ∠COD = ∠OCB = ∠OCD. Поэтому треугольник ODC – равнобедренный: CD = OD.
Обозначим OD = x. Тогда LD = OD – OL = OD – MC = x – 2. По теореме Пифагора
CD² = CK² + KD², или x² = 36 + (x – 2)².
Отсюда x = 10.
Из подобия прямоугольных треугольников OKP и DLC находим, что KP : CL = OP : CD. Поэтому KP = OP·CL/CD = 6·6/10 = 18/5.
Следовательно, PQ = 2KP = 36/5.
Ответ
7,2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 876 |
