ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53188
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 1 и равна диагонали BD. Диагонали относятся как 1 : $ \sqrt{3}$. Найдите площадь той части круга, описанного около треугольника BCD, которая не принадлежит кругу, описанному около треугольника ADC.


Подсказка

Докажите, что AC > BD, а треугольник BDC — равносторонний.


Решение

Предположим, что AC < BD. Тогда AC = $ {\frac{\sqrt{3}}{3}}$. Если O -- точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, то в треугольнике ABO известно, что

AB = 1, OB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AO = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$,

что невозможно, поскольку $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ < 1. Следовательно, AC > BD и AC = $ \sqrt{3}$. Тогда треугольник BDC — равносторонний. Центр Q окружности, описанной около этого треугольника, лежит на отрезке OC и $ {\frac{OC}{QO}}$ = 2, радиус этой окружности равен $ {\frac{\sqrt{3}}{3}}$, а площадь сектора DQC равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \pi$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{3}}\right.$$\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$.

Вычитая из этой площади площадь треугольника DQC, получим $ {\frac{\pi}{9}}$ - $ {\frac{\sqrt{3}}{12}}$.

Центр окружности, описанной около треугольника ADC, — точка B; радиус этой окружности равен 1. Площадь сектора DBC равна $ {\frac{\pi}{6}}$. Вычитая из этой площади площадь треугольника BDC, получим $ {\frac{\pi}{6}}$ - $ {\frac{\sqrt{3}}{4}}$. Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{12}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{12}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{12}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$.


Ответ

$ {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ - $ {\frac{\pi}{18}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 883

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .