Информация о задаче

Задача 53188

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 1 и равна диагонали BD. Диагонали относятся как 1 : $\sqrt{3}$ . Найдите площадь той части круга, описанного около треугольника BCD, которая не принадлежит кругу, описанному около треугольника ADC.

Подсказка

Докажите, что AC > BD, а треугольник BDC — равносторонний.

Решение

Предположим, что AC < BD. Тогда AC = ${\frac{\sqrt{3}}{3}}$ . Если O -- точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, то в треугольнике ABO известно, что

AB = 1, OB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , AO = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ ,

что невозможно, поскольку ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{\sqrt{3}}{6}}$ < 1. Следовательно, AC > BD и AC = $\sqrt{3}$ . Тогда треугольник BDC — равносторонний. Центр Q окружности, описанной около этого треугольника, лежит на отрезке OC и ${\frac{OC}{QO}}$ = 2, радиус этой окружности равен ${\frac{\sqrt{3}}{3}}$ , а площадь сектора DQC равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{3}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ .

Вычитая из этой площади площадь треугольника DQC, получим ${\frac{\pi}{9}}$ - ${\frac{\sqrt{3}}{12}}$ .

Центр окружности, описанной около треугольника ADC, — точка B; радиус этой окружности равен 1. Площадь сектора DBC равна ${\frac{\pi}{6}}$ . Вычитая из этой площади площадь треугольника BDC, получим ${\frac{\pi}{6}}$ - ${\frac{\sqrt{3}}{4}}$ . Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{12}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{12}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{12}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{3}}{6}}$ - ${\frac{\pi}{18}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	883