Информация о задаче

Задача 53189

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции PQRS диагонали перпендикулярны и точкой пересечения O делятся в отношении 1 : $\sqrt{3}$ . Большее основание PS трапеции равно 1. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников PQO и POS.

Подсказка

Центры окружностей, описанных около треугольников PQO и POS, — середины отрезков PQ и PS.

Решение

Центр A окружности, описанной около треугольника POS, — середина основания PS, радиус этой окружности равен ${\frac{1}{2}}$ . Площадь сектора OAP равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ .

Вычитая из нее площадь треугольника OAP, получим

$\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ .

Поскольку

ctg $\displaystyle \angle$ OPQ = $\displaystyle {\frac{PQ}{OQ}}$ = $\displaystyle {\frac{PO}{OR}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

то $\angle$ OPQ = 30^o. Поэтому

PQ = $\displaystyle {\frac{PO}{\cos 30^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{6}}}$ .

Центр B окружности, описанной около прямоугольного треугольника OPQ, — середина стороны PQ, её радиус равен ${\frac{1}{2}}$ PQ = ${\frac{1}{\sqrt{6}}}$ , $\angle$ OBP = 120^o. Площадь сектора OBP равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{6}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ .

Вычитая из нее площадь треугольника OBP, получим

$\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{6}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{24}}$ .

Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{8}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{8}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{8}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{24}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{24}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{24}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{17\pi}{144}}$ - $\displaystyle {\frac{3 + \sqrt{3}}{24}}$ .

Ответ

${\frac{17\pi}{144}}$ - ${\frac{3 + \sqrt{3}}{24}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	884