ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53189
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции PQRS диагонали перпендикулярны и точкой пересечения O делятся в отношении 1 : $ \sqrt{3}$. Большее основание PS трапеции равно 1. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников PQO и POS.


Подсказка

Центры окружностей, описанных около треугольников PQO и POS, — середины отрезков PQ и PS.


Решение

Центр A окружности, описанной около треугольника POS, — середина основания PS, радиус этой окружности равен $ {\frac{1}{2}}$. Площадь сектора OAP равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \pi$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$.

Вычитая из нее площадь треугольника OAP, получим

$\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$.

Поскольку

ctg$\displaystyle \angle$OPQ = $\displaystyle {\frac{PQ}{OQ}}$ = $\displaystyle {\frac{PO}{OR}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$,

то $ \angle$OPQ = 30o. Поэтому

PQ = $\displaystyle {\frac{PO}{\cos 30^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{6}}}$.

Центр B окружности, описанной около прямоугольного треугольника OPQ, — середина стороны PQ, её радиус равен $ {\frac{1}{2}}$PQ = $ {\frac{1}{\sqrt{6}}}$, $ \angle$OBP = 120o. Площадь сектора OBP равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \pi$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{6}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$.

Вычитая из нее площадь треугольника OBP, получим

$\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{6}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{24}}$.

Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{8}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{16}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{8}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{8}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{24}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{18}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{24}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{24}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{17\pi}{144}}$ - $\displaystyle {\frac{3 + \sqrt{3}}{24}}$.


Ответ

$ {\frac{17\pi}{144}}$ - $ {\frac{3 + \sqrt{3}}{24}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 884

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .