Информация о задаче

Задача 53199

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки K, расположенной вне окружности с центром в точке O, проведены к этой окружности две касательные MK и NK (M и N — точки касания). На хорде MN взята точка C (MC < CN). Через точку C перпендикулярно к отрезку OC проведена прямая, пересекающая отрезок NK в точке B. Известно, что радиус окружности равен R, $\angle$ MKN = $\alpha$ , MC = b. Найдите CB.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ CBO = ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Решение

Пусть D — точка пересечения отрезка KO с хордой MN. Тогда D -- середина MN, а т.к. $\angle$ DNO = $\angle$ OKN = ${\frac{\alpha}{2}}$ , то

DN = ON cos $\displaystyle \angle$ DNO = R cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , MN = 2DN = 2R cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

CN = MN - MC = 2R cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - b.

Из треугольника CON по теореме косинусов находим, что

CO = $\displaystyle \sqrt{NC^{2}+ NO^{2}- 2NC\cdot NO\cos \frac{\alpha}{2}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{\left(2R\cos \frac{\alpha}{2} - b\right)^{2}+ R^{2}- 2R\left(2R\cos \frac{\alpha}{2} - b\right)\cos \frac{\alpha}{2}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{R^{2}+ b^{2}- 2Rb\cos \frac{\alpha}{2}}$ .

Поскольку точки O, C, B и N лежат на окружности с диаметром OB, то $\angle$ CBO = $\angle$ CNO = ${\frac{\alpha}{2}}$ . Поэтому

CB = COctg $\displaystyle \angle$ CBO = ctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{R^{2}+ b^{2}- 2Rb\cos \frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

ctg ${\frac{\alpha}{2}}$ $\sqrt{R^{2}+b^{2}- 2Rb\cos \frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	894