Задача 53203

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с острым углом 30° проведена высота CD из вершины прямого угла C.
Найдите расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ACD и BCD, если меньший катет треугольника ABC равен 1.

Подсказка

Треугольник с вершинами в точке D и в центрах окружностей подобен исходному прямоугольный.

Решение

  Пусть  ∠A = 30°,  O, O₁ и O₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABC, BDC и ADC.
  Заметим, что  O₁O₂ = OС  (см. решение задачи 53583).
  Радиус r вписанной окружности треугольника ABC равен    а  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	898