Задача 53212

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема косинусов ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. На стороне BC взята точка P, а на стороне AC взята точка M, причём  ∠APB = ∠BMA = 45°.  Отрезки AP и BM пересекаются в точке O. Известно,что площади треугольников BOP и AOM равны между собой,  BC = 1,  BO = .  Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

  Треугольники BOP и AOM подобны по двум углам. В силу равенства площадей они равны. Значит,  ∠MAO = ∠PBO,  AO = OB,  ∠OAB = ∠OBA,  ∠A = ∠B.
  Поэтому треугольник ABC – равнобедренный  (AC = CB).  Следовательно,  MP || AB.
  Обозначим  PO = MO = x.  Тогда   Поэтому
  По теореме косинусов  BC² = MC² + MB² – 2MC·MB cos 135°,    Отcюда  
  Следовательно,  

Ответ

0,3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	907