Информация о задаче

Задача 53221

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два равных равнобедренных треугольника ABC и DBE ( AB = BC = DB = BE) имеют общую вершину B и лежат в одной плоскости, причём точки A и C находятся по разные стороны от прямой BD, а отрезки AC и DE пересекаются в точке K. Известно, что $\angle$ ABC = $\angle$ DBE = $\alpha$ < ${\frac{\pi}{2}}$ , $\angle$ AKD = $\beta$ < $\alpha$ . В каком отношении прямая BK делит угол ABC?

Подсказка

$\angle$ ABD = $\angle$ CBE = $\beta$

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \angle$ ABC - $\displaystyle \angle$ DBC, $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ DBE - $\displaystyle \angle$ DBC, $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ DBE,

то $\angle$ ABD = $\angle$ CBE. Точки A, D, C, E лежат на окружности с центром в точке B и радиусом, равным AB. Поэтому $\angle$ DAK = $\angle$ CEK.

Отрезок BK виден из точек A и D под одним углом ( $\angle$ BAK = $\angle$ BDK). Поэтому точки A, D, K и B расположены на одной окружности. Следовательно, $\angle$ DBK = $\angle$ DAK. Аналогично докажем, что $\angle$ CBK = $\angle$ CEK. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ABK = $\displaystyle \angle$ ABD + $\displaystyle \angle$ DBK = $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\alpha + \beta}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ KBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ DBC = $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{\angle ABK}{\angle KBC}}$ = $\displaystyle {\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}$ .

Ответ

${\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	916