Информация о задаче

Задача 53227

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона BC равна 5. Окружность проходит через вершины B и C и пересекает сторону AC в точке K, причём CK = 3, KA = 1. Известно, что косинус угла ACB равен ${\frac{4}{5}}$ . Найдите отношение радиуса данной окружности к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABK.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

По теореме косинусов из треугольника BKC находим, что

BK = $\displaystyle \sqrt{CK^{2}+ CB^{2}-2CK\cdot CB\cos \angle KCB}$ = $\displaystyle \sqrt{9 + 25 - 2\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{4}{5}}$ = $\displaystyle \sqrt{10}$ .

Если R — радиус окружности, описанной около треугольника BKC, то

R = $\displaystyle {\frac{BK}{2\sin \angle KCB}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{10}}{2\cdot \frac{3}{5}}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{10}}{6}}$ .

По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}+ BC^{2}- 2AC\cdot BC\cos \angle ACB}$ = $\displaystyle \sqrt{16 + 25 - 2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{4}{5}}$ = 3.

Следовательно, треугольник BAK — прямоугольный (BK² = 10 = 1 + 9 = AK² + AB²). Поэтому радиус окружности, вписанной в этот треугольник, можно вычислить по формуле

r = $\displaystyle {\frac{AB + AK - BK}{2}}$ , т.е. r = $\displaystyle {\frac{4 - \sqrt{10}}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{R}{r}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{10}}{(3(4 - \sqrt{10})}}$ = $\displaystyle {\frac{10\sqrt{10} + 25}{9}}$ .

Ответ

${\frac{25 + 10\sqrt{10}}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	922