Информация о задаче

Задача 53228

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC косинус угла BAC равен ${\frac{1}{2}}$ , AB = 2, AC = 3. Точка D лежит на продолжении стороны AC, причём C находится между A и D, CD = 3. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABD.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

BC = $\displaystyle \sqrt{AB^{2}+ AC^{2}- 2AB\cdot AC\cos \angle BAC}$ = $\displaystyle \sqrt{4 + 9 - 6}$ = $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Если R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC, то

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BAC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$ .

По теореме косинусов из треугольника ABD находим, что BD = 2 $\sqrt{7}$ . Пусть O — центр окружности, вписанной в этот треугольник, r — её радиус, K — точка касания со стороной AD. Тогда

r = OK = AKtg $\displaystyle \angle$ OAK = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB + BD + AD}{2} - BD}\right.$ $\displaystyle {\frac{AB + BD + AD}{2}}$ - BD $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB + BD + AD}{2} - BD}\right)$ tg30^o = $\displaystyle {\frac{4 - \sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$ .

Следовательно, ${\frac{R}{r}}$ = ${\frac{7 + 4\sqrt{7}}{9}}$ .

Ответ

${\frac{7 + 4\sqrt{7}}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	923