Информация о задаче

Задача 53231

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В правильном треугольнике ABC проведена окружность, проходящая через центр треугольника и касающаяся стороны BC в её середине D. Из точки A проведена прямая, касающаяся окружности в точке E, причём $\angle$ BAE < 30^o. Найдите площадь треугольника ABE, если площадь треугольника ABC равна ${\frac{10}{4 - \sqrt{2}}}$ .

Подсказка

Найдите sin $\angle$ DAE из прямоугольного треугольника EAQ (Q — центр данной окружности).

Решение

Пусть O — центр треугольника ABC, Q — центр данной окружности. Обозначим через a сторону треугольника ABC. Тогда

OD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ AD = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{6}}$ , OQ = QD = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{12}}$ ,

AQ = AD - QD = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{12}}$ = $\displaystyle {\frac{5a\sqrt{3}}{12}}$ .

Из прямоугольного треугольника AEQ находим, что

sin $\displaystyle \angle$ EAQ = $\displaystyle {\frac{EQ}{AQ}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ , cos $\displaystyle \angle$ EAQ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{5}}$ ,

AE = EQtg $\displaystyle \angle$ EAQ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{2}}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AE^.AB sin(30^o - $\displaystyle \angle$ EAQ) =

= $\displaystyle {\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{6}}{5} - \frac{\sqrt{3}}{15}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{6}(2\sqrt{2} - 1)}{40}}$ .

По условию задачи

S_ABC = $\displaystyle {\frac{10}{4 - \sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Выразим из этого равенства a² и подставим в предыдущее. Получим: S_ABE = 1

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	926