Задача 53234

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане BM, а  ∠B = 120°.
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольника круга.

Решение

  Обозначим  AC = 2a.  Тогда радиус описанной окружности треугольника ABC равен     а площадь описанного круга равна ^4πa2/₃.
  Биссектриса треугольника ABM, проведённая из вершины A, является его высотой. Поэтому треугольник ABM – равнобедренный,  AB = AM = a.
  Найдём площадь S_ABC.

  Первый способ. Пусть  BC = x.  По теореме косинусов  4a² = a² + x² + ax.  Отсюда     Поэтому   S_ABC = ½ AB·BC sin 120° = .

  Второй способ. По теореме синусов       Поэтому   S_ABC = ½ AB·AC sin∠A = .

  Следовательно, искомое отношение равно   .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	929