Задача 53238

Темы:    [ Трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.

Решение

  Пусть BС – меньшее основание,  BA = x  – меньшая боковая сторона трапеции ABCD. Тогда точка M касания данной окружности с нижним основанием AD лежит на серединном перпендикуляре к основанию BC. Поэтому  AM = ^BC/₂ = ^x/₂,  CD = MD = a – ^x/₂.
  Пусть K – проекция вершины C на AD. Тогда  KD = a – x,  CK = x.  По теореме Пифагора  (a – ^x/₂)² = x² + (a – x)²,  откуда  x = ^4a/₇,  CD = a – ^x/₂ = ^5a/₇.

Ответ

^4a/₇, ^5a/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	933