Задача 53239

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Прямоугольный треугольник с острым углом α расположен внутри окружности радиуса r так, что гипотенуза является хордой окружности, а вершина прямого угла лежит на диаметре, параллельном гипотенузе. Найдите площадь треугольника.

Решение

  Пусть вершина прямого угла C треугольника ABC лежит на диаметре MN, параллельном гипотенузе AB, P и Q – проекции точек соответственно A и B на MN,
∠A = α,  O – центр окружности.
  Заметим, что  CH = AC sin α = AB cos α sin α = c sin 2α.  Кроме того,  с² + CH² = r²,  то есть  
  Следовательно,  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4652