ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53240
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса R = 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол $ {\frac{\pi}{8}}$. В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке C. Найдите медиану AM треугольника ABC.


Подсказка

Пусть O — центр окружности. Тогда OBC — равнобедренный прямоугольный треугольник.


Решение

Пусть O — центр окружности. Тогда

$\displaystyle \angle$BOC = 2$\displaystyle \angle$BAO = 45o.

Из прямоугольного треугольника OBC находим, что BC = 4 и OC = 4$ \sqrt{2}$. Поэтому AC = AO + OC = 4 + 4$ \sqrt{2}$. Медиану AM находим по теореме косинусов из треугольника AMC:

AM2 = AC2 + CM2 - 2AC . CM cos 45o =

= (4 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$)2 + 4 - 2 . 2 . (4 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$) . $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 4(9 + 6$\displaystyle \sqrt{2}$).


Ответ

2$ \sqrt{9+6\sqrt{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 935

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .