Задача 53241

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В окружности радиуса R = проведены хорда MN и диаметр MP . В точке N проведена касательная к окружности, которая пересекает продолжение диаметра MP в точке Q под углом 60^o . Найдите медиану QD треугольника MQN .

Решение

Пусть O — центр окружности. Предположим, что точка Q лежит на продолжении диаметра MP за точку P (рис.1). Из прямоугольного треугольника ONQ находим, что

QN = ON· ctg 60^o = · = , OQ=2NQ = 2.
Тогда QM=MO+OQ=+2 . По теореме о внешнем угле треугольника
MON = 90^o+60^o = 150^o.
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника MON находим, что
MN2 = OM2+ON2-2OM· ON cos 150^o= 6+6+2· 6· =12+6.
По формуле для медианы треугольника
QD2 = (2QN2+2QM2-MN2)= (2· 2+2(+2)2- 12-6)=

=(20+10).
Следовательно,
QD = = .
Если точка Q лежит на продолжении диаметра MP за точку M (рис.2), то аналогично получим, что QD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	936