Информация о задаче

Задача 53258

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон трапеции AD и BC за точки D и C пересекаются в точке E. Периметр треугольника DCE и основание трапеции AB равны соответственно 60 и 20, угол ADC равен $\beta$ . Найдите радиус окружности.

Подсказка

Пусть M — точка касания данной окружности с отрезком AD. Выразите отрезки AM и DM через радиус окружности и угол $\beta$ . Найдите периметр треугольника ABE и воспользуйтесь подобием треугольников EDC и EAB.

Решение

Пусть O — центр данной окружности, r — её радиус, M, N, K — точки касания с отрезками AD, DC, BC соответственно. Поскольку

EM = EK, EM + EK = ED + DN + NC + CE = ED + DC + CE = 60,

то EM = 30.

Пусть P — периметр треугольника ABE. Тогда EM = ${\frac{P}{2}}$ - AB. Отсюда находим, что

P = 2(EM + AB) = 2(30 + 20) = 100.

Следовательно, коэффициент подобия треугольников EDC и EAB равен ${\frac{3}{5}}$ (отношение периметров).

Из прямоугольных треугольников AMO и DMO находим, что

DM = $\displaystyle {\frac{OM}{{\rm tg }\angle ODM}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{{\rm tg }\frac{\beta}{2}}}$ , AM = OMtg $\displaystyle \angle$ AOM = rtg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{ED}{EA}}$ = $\displaystyle {\frac{EM - MD}{EM + AM}}$ = $\displaystyle {\frac{\left(30 - \frac{r}{{\rm tg }\frac{\beta}{2}}\right)}{30 + r{\rm tg }\frac{\beta}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Отсюда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{60{\rm tg }\frac{\beta}{2}}{5 + 3 {\rm tg }^{2} \frac{\beta}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{30\sin \beta}{4+\cos \beta}}$ .

Ответ

${\frac{60{\rm tg }\frac{\beta}{2}}{5 + 3\cdot {\rm tg }^{2} \frac{\beta}{2}}}$ = ${\frac{30\sin \beta}{4+\cos \beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	953