ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53259
Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность радиуса 2, отсекающая от прямой BC отрезок, равный 4, и касающаяся прямой AC в точке A. Из точки B восставлен перпендикуляр к прямой BC до пересечения с прямой AC в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если  BF = 2.


Подсказка

Докажите, что центр данной окружности лежит на прямой BC и рассмотрите два возможных варианта расположения этого центра на BC относительно точки B.


Решение

  O – центр данной окружности, M – отличная от B точка её пересечения с прямой BC. Поскольку отрезок BM равен диаметру окружности, то он и является диаметром.

  Предположим, что точка M лежит между C и B (рис. слева). Тогда  OA < BF,  что не так.
  Значит, точка B лежит между точками C и M (рис. справа). Из подобия треугольников CAO и CBF получаем, что  SCAO = (AO/BFSCBF = 5SCBF.  Поэтому
SOBF = ½ SAOBF = 2SCBF,  следовательно,  BC = ½ OBSABC = BC/OC SAOC = 1/3 SAOC = 1/3·5/2 SOBF = 5/3 .


Ответ

$ {\frac{5\sqrt{5}}{3}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 954

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .