Информация о задаче

Задача 53267

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка O лежит на отрезке AB, причём AO = 13, OB = 7. С центром в точке O проведена окружность радиуса 5. Из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB.

Подсказка

Примените формулу a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Пусть C и D — точки касания данной окружности со сторонами соответственно AM и BM треугольника AMB. Обозначим $\angle$ MAB = $\alpha$ , $\angle$ MBA = $\beta$ .

Из прямоугольных треугольников ACO и DBO находим, что

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{CO}{AO}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{13}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{13}}$ ,

sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{OD}{OB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ , cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{7}}$ .

Тогда

sin $\displaystyle \angle$ AMB = sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ) = sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) =

= sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{10(6 + \sqrt{6})}{91}}$ .

Следовательно, искомый радиус равен

$\displaystyle {\frac{AB}{2\sin \angle AMB}}$ = $\displaystyle {\frac{20}{2\cdot 10\cdot \frac{6 + \sqrt{6}}{91}}}$ = $\displaystyle {\frac{91(6 - \sqrt{6})}{30}}$ .

Ответ

${\frac{91(6 - \sqrt{6})}{30}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	962